INECUACIONES

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7 ≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7 > mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7 2x < 8 x < 4 (-∞, 4) 2x − 1 ≤ 7 2x ≤ 8 x ≤ 4 (-∞, 4] 2x − 1 > 7 2x > 8 x > 4

(4, ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8

x ≥ 4

[4, ∞)

INECUACIONES EQUIVALENTES

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada. 2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. −x < 5 (−x) • (−1) > 5 • (−1) x > −5

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

1º Quitar corchetes y paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.

[3, +∞)

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Consideremos la inecuación:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. x2 − 6x + 8 = 0

2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 • 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 • 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 • 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0 x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0 = R

x2 + x +1 ≤ 0 = Ø

x2 + x +1 < 0 = Ø

INECUACIONES RACIONALES

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0 x = 2 x − 4 = 0 x = 4

2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

S = (-∞, 2] (4, ∞)

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

−x + 7 = 0

x = 7 x − 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:

S = (-∞, 2) (7, ∞)